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高等数学
等价无穷小
题：求无穷小量中最高阶的。
等价无穷小是微积分中一个重要的概念，用于描述当一个变量趋向于某个值时，与之等价的、增长率相近的另一个变量。在这里，我们通常用符号 “∼” 表示等价。
高阶无穷小量是一种比低阶无穷小量更快趋近于零的无穷小量。
设 f(x) 和 g(x) 是在某一点（通常是 x=0）附近定义的函数，如果 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，那么我们称 f(x) 是 g(x) 的等价无穷小，记作 (f(x) \sim g(x))。
一些常见的等价无穷小关系包括：
(x \sim x^n): 当 (x) 趋近于零时，(x) 与 (x^n) 是等价的，其中 (n) 是任意实数。
(e^x - 1 \sim x): 当 (x) 趋近于零时，(e^x - 1) 与 (x) 是等价的。
(\sin(x) \sim x): 当 (x) 趋近于零时，(\sin(x)) 与 (x) 是等价的。
(\tan(x) \sim x): 当 (x) 趋近于零时，(\tan(x)) 与 (x) 是等价的。
当 (x) 趋近于零时，可以讨论 (\ln(x)) 和 (1 - \cos(x)) 的等价无穷小关系。
(\ln(x)) 和 (x - 1):
[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x)}{x - 1}]在这种情况下，可以应用洛必达法则（L’Hôpital’s Rule），对分子和分母分别求导，然后再取极限。具体地：
[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x)}{x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}]
这表明 (\ln(x)) 与 (x - 1) 是等价的。
(1 - \cos(x)) 和 (\frac{x^2}{2}):
[\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{\frac{x^2}{2}}]同样使用洛必达法则：
[\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1]
这表明 (1 - \cos(x)) 与 (\frac{x^2}{2}) 是等价的。
综合上述结果，可以得出 (\ln(x)) 与 (x - 1) 在 (x) 趋近于零时是等价的，而 (1 - \cos(x)) 与 (\frac{x^2}{2}) 在 (x) 趋近于零时是等价的。
考虑 (\sqrt{\sin^3 t})，我们可以使用泰勒展开来近似 (\sin t) 在 (t=0) 处的行为：
[\sin t \approx t]
然后将这个近似代入 (\sin^3 t) 中：
[\sin^3 t \approx t^3]
最后取平方根：
[\sqrt{\sin^3 t} \approx \sqrt{t^3} = t^{3/2}]
因此，当 (t) 趋近于零时，(\sqrt{\sin^3 t}) 与 (t^{3/2}) 是等价的。
总结起来，当 (t) 趋近于零时，(\sqrt{\sin^3 t}) 与 (t^{3/2}) 是等价的无穷小关系。
等价无穷小的概念在极限计算、渐近分析等数学问题中有广泛的应用。通过使用等价无穷小，我们可以简化复杂的表达式，更容易理解函数的增长性质。在处理极限问题时，等价无穷小也是一种常用的技巧。
间断点和第二类间断点
题：求函数的第二类间断点个数。
$f(x)=\frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left(\mathrm{e}^x-1\right)(x-2)}$
间断点（Discontinuity）：
间断点是函数在某一点或某一集合上不连续的现象，分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
第二类间断点（Type II Discontinuity）：
第二类间断点处函数的左右极限至少有一个不存在。
无穷大就是不存在
https://baike.baidu.com/item/%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E7%B1%BB%E9%97%B4%E6%96%AD%E7%82%B9/2953993?fr=ge_ala
https://baike.baidu.com/item/%E6%97%A0%E7%A9%B7%E9%97%B4%E6%96%AD%E7%82%B9/3531630?fromModule=lemma_inlink
函数间断点的求解
给定函数：
[ f(x) = \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{(\mathrm{e}^x-1)(x-2)} ]
可能的间断点：
- (x = -1) （由于对数函数中的 (1+x)，要求 (x > -1)）
- (x = 0) （由于对数函数中的 (1+x)，要求 (x > -1))
- (x = 1) （由于分母中有 ((x-1)) 的因式，导致分母为零）
- (x = 2) （由于分母中有 ((x-2)) 的因式，导致分母为零）
定义域：
[ (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, +\infty) ]
接下来，分析这些点附近的极限是否存在且是否相等，以确定它们是否是间断点。在具体的计算中，可能需要使用极限计算的技巧，例如泰勒展开、洛必达法则等。
简化含有 (\arcsin(\sqrt{x})) 的积分
原积分
我们考虑以下积分形式：
[
\int \frac{\arcsin(\sqrt{x})}{\sqrt{x(1-x)}} , dx
]
换元思路
处理含有根号的积分时，通常使用换元法或三角换元法来消除根号，这是积分问题中常见的思路。
三角换元法： 通过选择适当的三角函数和角度，将积分中的根号表达式转化为更容易积分的形式。
我们选择 (x = \sin^2(t)) （因为我们要消掉根号，还要消掉上面的arcsin），则 (\sqrt{x} = \sin(t))，并且 (dx = 2\sin(t)\cos(t) , dt)。同时，由三角恒等式 (\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1)，我们有 (1 - x = \cos^2(t))。
原积分可以表示为：
[
\int \frac{\arcsin(\sqrt{x})}{\sqrt{x(1-x)}} , dx = \int \frac{\arcsin(\sin(t))}{\sqrt{\sin^2(t)\cos^2(t)}} \cdot 2\sin(t)\cos(t) , dt
]
这可以简化为：
[
\int 2t , dt
]
对 (t^2) 求导，得到 (2t)，因此原积分等于 (t^2 + C)，其中 (C) 是积分常数。
最后，代回 (t)，即 (t = \arcsin(\sqrt{x}))，得到最终结果：
[
\left(\arcsin(\sqrt{x})\right)^2 + C
]
通过选择适当的换元，我们能够更轻松地解决复杂的积分问题。
n阶导数
题目：求 ( n \geq 3 ) 时，函数 ( f(x) = x^2 \ln(1-x) ) 在 ( x = 0 ) 处的 n 阶导数 ( f^{(n)}(0) ) 的表达式
[ \ln(1-x) = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} ]
[ x^2 \ln(1-x) = -\sum_{n=3}^{\infty} \frac{x^n}{n-2} ]
然后，对这个表达式在 ( x = 0 ) 处进行 n 阶导数，可以得到：
[ f^{(n)}(0) = -\frac{n!}{(n-2)!} ]
这表示函数 ( f(x) = x^2 \ln(1-x) ) 在 ( x = 0 ) 处的 n 阶导数。
求导过程：当我们对级数进行 n 次求导时，我们需要逐项对级数的每一项进行求导。在这里，级数是
[ x^2 \ln(1-x) = -\sum_{n=3}^{\infty} \frac{x^n}{n-2} ]
我们先对单独的一项进行求导，然后将结果相加。每一项都包含 ( x^n )，所以在求导的过程中，我们将会得到 n 的因子。由于级数是从 n=3 开始的，所以我们需要考虑这个偏移。
让我们考虑级数中的一项 (-\frac{x^n}{n-2})，对它进行一次求导：
[ \frac{d}{dx}\left(-\frac{x^n}{n-2}\right) = -\frac{n}{n-2}x^{n-1} ]
这是一次导数的结果。现在，如果我们要对这个导数再次求导（二阶导数），我们需要再次应用相同的规则：
[ \frac{d^2}{dx^2}\left(-\frac{x^n}{n-2}\right) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{n}{n-2}x^{n-1}\right) = \frac{n(n-1)}{(n-2)^2}x^{n-2} ]
依此类推，对于 n 阶导数，我们将得到：
[ \frac{d^n}{dx^n}\left(-\frac{x^n}{n-2}\right) = \frac{n!}{(n-2)!}x^{2} ]
注意，这里我们使用了乘法法则和幂函数的导数规则。最终，将这个导数代入原级数中的每一项，然后将所有项相加，我们就得到了 ( x^2 \ln(1-x) ) 的 n 阶导数。
f(x,y) 极限和偏导
分段函数定义
我们考虑以下分段函数：
[ f(x, y) =
\begin{cases}
xy & \text{当 } xy \neq 0 \
x & \text{当 } x, y = 0 \
y & \text{当 } y, x = 0
\end{cases}
]
这是一个关于(x)和(y)的函数，其定义在不同的区域内有所不同。
偏导数的计算
要对分段函数(f(x, y))分别对(x)和(y)求偏导数，需要在不同的区域分别计算。我们来分别讨论这三个区域。
当(xy \neq 0)时，(f(x, y) = xy)。对于这种情况，我们对(x)和(y)分别求偏导数：
[ \frac{\partial f}{\partial x} = y ]
[ \frac{\partial f}{\partial y} = x ]
当(x, y = 0)时，(f(x, y) = x)。在这种情况下，对(x)求偏导数：
[ \frac{\partial f}{\partial x} = 1 ]
对(y)求偏导数没有意义，因为(y)在这里没有出现。
当(y, x = 0)时，(f(x, y) = y)。在这种情况下，对(y)求偏导数：
[ \frac{\partial f}{\partial y} = 1 ]
对(x)求偏导数没有意义，因为(x)在这里没有出现。
因此，分段函数在不同区域的偏导数分别为：
当(xy \neq 0)时，
[ \frac{\partial f}{\partial x} = y ]
[ \frac{\partial f}{\partial y} = x ]
当(x, y = 0)时，
[ \frac{\partial f}{\partial x} = 1 ]
当(y, x = 0)时，
[ \frac{\partial f}{\partial y} = 1 ]
请注意，在每个区域中，只有一个变量对应的偏导数是非零的，其他变量对应的偏导数为零。这是因为在每个区域内，只有一个变量起作用。
极限的计算
比如：
lim x,y → 0,0 f(x,y)
我们需要考虑函数在逼近点((0, 0))时的各种路径。如果所有路径都导致相同的极限值，那么这个极限存在。如果存在一条路径使得极限值不同，那么极限将不存在。
对于给定的分段函数(f(x, y))：
- 当(xy \neq 0)时，(f(x, y) = xy)。
- 当(x, y = 0)时，(f(x, y) = x)。
- 当(y, x = 0)时，(f(x, y) = y)。
我们分别考虑这三种情况：
当(xy \neq 0)时，(f(x, y) = xy)。在这种情况下，当((x, y))逼近((0, 0))时，(f(x, y))趋于零，因为(xy)趋于零。
当(x, y = 0)时，(f(x, y) = x)。在这种情况下，当((x, y))逼近((0, 0))时，(f(x, y))仍然趋于零，因为(x)趋于零。
当(y, x = 0)时，(f(x, y) = y)。在这种情况下，当((x, y))逼近((0, 0))时，(f(x, y))同样趋于零，因为(y)趋于零。
无论路径如何，(f(x, y))都趋于零。因此，可以得出：
lim x,y → 0,0 f(x,y) = 0